$type=ticker$source=random$count=48$cols=4$cate=0$hide=mobile

[Đáp án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (Đại Số)

Bảng A

  1. Cho ma trận $$A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 4 & -3\\ 4 & 6 & -5\\ 8 & 12 & -10 \end{array}\right).$$ a) Tính $A^4$,
    b) Tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất sao cho ${\rm rank}(A^k) ={\rm rank}(A^{k+1})$ với mọi $k \geq N$, trong đó ${\rm rank}(M)$ là hạng của một ma trận $M$ (có giải thích rõ các lập luận và tính toán). 
  2. Người ta khảo sát một mô hình di cư dân số giữa hai vùng đô thị và nông thôn với quy luật như sau: Hằng năm, có $50%$ dân số vùng nông thôn chuyển về vùng đô thị và đồng thời có $25%$ dân số vùng đô thị chuyển về vùng nông thôn sinh sống. Giả sử $x$, $y$ tương ứng là số dân vùng nông thôn và vùng đô thị ở thời điểm ban đầu $(x, y > 0)$.
    a) Hỏi sau $k$ năm dân số của vùng nông thôn và vùng đô thị là bao nhiêu?.
    b) Giả sử ban đầu số người sống ở nông thôn và đô thị là bằng nhau. Có thể đến lúc nào đó dân số của vùng đô thị vượt quá $80% $tổng dân số của cả hai vùng không?. Giải thích câu trả lời.
  3. a) Giả sử $X$, $A$ là các ma trận vuông với hệ số thực thoả mãn $X^2 = A$. Chứng minh rằng $AX = XA$.
    b) Tìm số các ma trận vuông $X$ với hệ số thực thỏa mãn $$ X^{2}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 16 \end{array}\right)$$
  4. Một ma trận vuông được gọi là dương nếu tất cả hệ số của nó là các số thực dương.
    a) Chứng minh rằng mỗi ma trận dương cấp $2$ đều có hai giá trị riêng là các số thực khác nhau và giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất là một số dương.
    b) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $2$. Giả sử $v\in\mathbb R^2$ là một véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của $A$. Chứng minh rằng hai thành phần của véctơ $v$ có cùng dấu.
    c) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $3$. Xét tập các giá trị riêng của $A$ (kể cả các giá trị phức), chứng minh rằng giá trị riêng có mô đun lớn nhất của $A$ là một số thực dương.
  5. Cho trước $6$ điểm phân biệt trên một đường tròn.
    a) Chia $6$ điểm đó thành ba cặp và nối hai điểm trong mỗi cặp bởi một dây cung. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho không có hai dây cung nào cắt nhau?.
    b) Đánh số một cách ngẫu nhiên các điểm đó từ $1, 2, . . . , 6$. Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được ba dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với ba dây cung đó bằng $9$.

Bảng B

  1. Cho một số thực $a$ và một số nguyên $n > 0$. Xét ma trận vuông cấp $n$ sau $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a & 0 & \cdots & 0 & n-1\\ 0 & a & \cdots & 0 & n-2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a & 1\\ n-1 & n-2 & \cdots & 1 & a \end{array}\right).$$ Tính định thức của $A$ trong các trường hợp a) $n = 4$,
    b) $n$ là số nguyên dương bất kỳ. 
  2. Người ta khảo sát một mô hình di cư dân số giữa hai vùng đô thị và nông thôn với quy luật như sau: Hằng năm, có $50%$ dân số vùng nông thôn chuyển về vùng đô thị và đồng thời có $25%$ dân số vùng đô thị chuyển về vùng nông thôn sinh sống. Giả sử $x$, $y$ tương ứng là số dân vùng nông thôn và vùng đô thị ở thời điểm ban đầu $(x, y > 0)$.
    a) Hỏi sau $k$ năm dân số của vùng nông thôn và vùng đô thị là bao nhiêu?.
    b) Giả sử ban đầu số người sống ở nông thôn và đô thị là bằng nhau. Có thể đến lúc nào đó dân số của vùng đô thị vượt quá $80% $tổng dân số của cả hai vùng không?. Giải thích câu trả lời.
  3. Cho ma trận $$A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 2 & -3\\ 6 & 1 & 1 & -4\\ 1 & 6 & 1 & -4\\ 1 & 1 & 6 & -4 \end{array}\right)$$ a) Tính $A^4$,
    b) Chứng minh rằng hai hệ phương trình sau có cùng tập hợp nghiệm trong $\mathbb R^4$ $$Ax = 0,\quad (A + A^2 + A^3 + A^4)x = 0.$$
  4. Một ma trận vuông được gọi là dương nếu tất cả hệ số của nó là các số thực dương.
    a) Chứng minh rằng mỗi ma trận dương cấp $2$ đều có hai giá trị riêng là các số thực khác nhau và giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất là một số dương.
    b) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $2$. Giả sử $v\in\mathbb R^2$ là một véc tơ riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của $A$. Chứng minh rằng hai thành phần của véctơ $v$ có cùng dấu,
    c) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $3$. Xét tập các giá trị riêng của $A$ (kể cả các giá trị phức), chứng minh rằng giá trị riêng có mô đun lớn nhất của $A$ là một số thực dương. 
  5. Cho trước $6$ điểm phân biệt trên một đường tròn.
    a) Chia $6$ điểm đó thành ba cặp và nối hai điểm trong mỗi cặp bởi một dây cung. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho không có hai dây cung nào cắt nhau?.
    b) Đánh số các điểm đó lần lượt từ $1, 2, . . . , 6$. Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chọn ra $3$ dây cung, đôi một không có đầu mút chung, rồi lấy tổng của các số gán với các dây cung đó. Hỏi giá trị lớn nhất của tổng nhận được bằng bao nhiêu?.

COMMENTS

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,12,Anh,2,APMO,14,Arabia,1,Bà Rịa Vũng Tàu,39,Bắc Bộ,19,Bắc Giang,27,Bạc Liêu,3,Bắc Ninh,26,Bắc Trung Bộ,8,Balkan,23,Baltic Way,28,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,64,BDHSG,12,Bến Tre,12,Benelux,10,Bình Định,28,Bình Dương,11,Bình Phước,16,Bình Thuận,21,BoxMath,3,Brazil,2,Bulgaria,5,BxMO,9,Cà Mau,10,Cần Thơ,8,Canada,60,Cao Bằng,4,Chọn Đội Tuyển,168,Chuyên Đề,76,Chuyên Sư Phạm,21,Collection,8,Cono Sur,1,Correspondence,1,CPS,3,Crux,2,Đà Nẵng,31,Đa Thức,1,Đại số,21,Đắk Lắk,30,Đắk Nông,2,Đặng Việt Đông,1,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1355,Đề Thi HSG,1003,Đề Thi JMO,1,Đề Thi MO,4,Đề Thi Olympic 11,1,Đề Thi TST,16,Điện Biên,4,Đoàn Văn Trung,1,Đồng Nai,35,Đồng Tháp,11,Đức,1,E-Book,14,EGMO,9,ELMO,15,EMC,6,Estonian,5,Fermat,1,Finland,4,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,8,Geometry,5,Gia Lai,14,Giới hạn,2,Hà Giang,1,Hà Lan,1,Hà Nam,13,Hà Nội,119,Hà Tĩnh,43,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,26,Hải Phòng,27,Hàn Quốc,4,Hậu Giang,2,Hình Học,31,HKUST,1,Hòa Bình,5,Hoàng Minh Quân,1,Học Sinh Giỏi,4,Hojoo Lee,2,HongKong,1,HSG,1,HSG 10,56,HSG 11,55,HSG 12,511,HSG 9,197,HSG Cấp Trường,47,HSGQG,60,HSGQT,10,Hứa Lâm Phong,1,Huế,23,Hùng Vương,19,Hưng Yên,18,Hy Lạp,1,IMC,22,IMO,31,India,18,Inequality,11,International,172,Iran,3,JBMO,16,Journal,13,K2pi,1,Kể chuyện Toán học,27,Khánh Hòa,7,KHTN,42,Kiên Giang,7,Kon Tum,10,Kvant,2,Kỷ yếu,24,Lai Châu,2,Lâm Đồng,11,Lạng Sơn,13,Langlands,1,Lào Cai,5,Lê Hoành Phò,3,Lê Phúc Lữ,3,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Long An,15,Lớp 10,5,Lớp 10 Chuyên,244,Lớp 10 Không Chuyên,61,Lượng giác,1,Lưu Giang Nam,2,Luyện Thi HSG,1,Mark Levi,1,Mathscope,8,MEMO,8,MO 2012,1,Moscow,1,Mỹ,5,MYM,71,Nam Định,17,National,151,Nesbitt,1,Nghệ An,33,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Đình Thi,2,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,2,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,2,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Tài Chung,4,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,1,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,2,Nguyễn Văn Mậu,19,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,1,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhât Bản,1,Nhật Bản,1,Nhóm Toán,3,Ninh Bình,22,Ninh Thuận,10,Nordic,17,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,79,Olympic 10/3,1,Olympic 11,69,Olympic 12,22,Olympic 24/3,4,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,53,Olympic Sinh Viên,60,Olympic Toán,222,PAMO,1,Phạm Đức Tài,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,1,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,1,Philippine,1,Philippines,4,Phú Thọ,12,Phú Yên,17,Phùng Hồ Hải,1,Phương trình hàm,22,Problems,1,PT-HPT,25,PTNK,21,Putnam,23,Quảng Bình,26,Quảng Nam,17,Quảng Ngãi,22,Quảng Ninh,19,Quảng Trị,14,RMM,10,Romania,8,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,5,Sách Toán,60,Saudi,2,Serbia,17,Sharygin,11,Shortlists,33,Singapore,1,Số học,22,Sóc Trăng,1,Sơn La,10,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp chí,9,Tây Ninh,4,Thái Bình,28,Thái Nguyên,14,Thanh Hóa,34,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,1,THPTQG,12,THTT,6,Tiền Giang,9,Titu Andreescu,2,Tổ hợp,6,Toán 12,9,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,17,Toán Tuổi Thơ,1,TOT,1,TPHCM,72,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trại hè,24,Trại hè phương Nam,3,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,6,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,9,Trường Đông,14,Trường Hè,5,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,16,Tuyên Quang,3,Tuyển sinh,7,Tuyển Tập,31,Tuymaada,1,Undergraduate,54,USA,23,Vasile Cîrtoaje,3,Vietnam,2,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,12,Vĩnh Long,12,Vĩnh Phúc,30,Virginia Tech,1,VMEO,4,VMF,3,VMO,18,VNTST,8,Võ Quốc Bá Cẩn,15,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,5,Vương Trung Dũng,1,Wiles,1,Yên Bái,13,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MATHEMATICAL CONTESTS COLLECTION: [Đáp án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (Đại Số)
[Đáp án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (Đại Số)
MATHEMATICAL CONTESTS COLLECTION
https://www.molympiad.com/2018/04/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-hoc-sinh-2018-dai-so.html
https://www.molympiad.com/
https://www.molympiad.com/
https://www.molympiad.com/2018/04/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-hoc-sinh-2018-dai-so.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy