What's New Here?

  1. 1/ Thực hiện phép tính $$\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2}-\sqrt{5}$$ 2/ Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(P)$ và hàm số $y=-x+2$ có đồ thị là $(d)$.
    a) Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
    b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm $A, B$ của $(P)$ và $(d)$; (hoành độ của $A$ nhỏ hơn hoành độ của $B$). Gọi $C$ và $D$ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên trục hoành, tính diện tích của tứ giác $ABCD$.
  2. 1/ a) Giải phương trình $x^4+2017x^2-2018=0$
    b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 2x+y&=-1 \\ x-2y&=7 \end{cases}.$$ 2/ Cho phương trình bậc hai $x^2-2x+m+3=0$ ($m$ là tham số)
    a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=-1$. Tính nghiệm còn lại.
    b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^3+x_{2}^3=8$.
  3. Một phòng họp có 250 chỗ ngồi được chia thành từng dãy, mỗi dãy có số chỗ ngồi như nhau. Vì có đến 308 người dự họp nên ban tổ chức phải kê thêm 3 dãy ghế, mỗi dãy ghế phải kê thêm một chỗ ngồi nữa thì vừa đủ. Hỏi lúc đầu ở phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?
  4. Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$. Một điểm $M$ cố định thuộc đoạn thẳng $OB$ ($M$ khác $B$ và $M$ khác $O$). Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $M$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $N$. Trên cung $NB$ lấy điểm $E$ bất kì ($E$ khác $B$ và $E$ khác $N$). Tia $BE$ cắt đường thẳng $d$ tại $C$, đường thẳng $AC$ cắt nửa đường tròn tại $D$. Gọi $H$ là gaio điểm của $AE$ và đường thẳng $d$.
    a) Chứng minh tứ giác $BMHE$ nội tiếp đường tròn.
    b) Chứng minh 3 điểm $B, H, D$ thẳng hàng.
    c) Tính giá trị của biểu thức $BN^2+AD.AC$ theo $R$.
    d) Đường tròn ngoại tiếp $AHC$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh khi $E$ di động trên cung $NB$ thì độ dài đoạn thẳng $BK$ không đổi.
  5. Cho $a$ là số thực lớn hơn 1 và $$x=\sqrt{a+\sqrt{a^2+1}}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}.$$ Tính giá trị biểu thức $$P=x^3-2x^2-2(a+1)x+4a+2021$$

Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ngãi 2017-2018

  1. 1/ Thực hiện phép tính $$\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2}-\sqrt{5}$$ 2/ Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(P)$ và hàm số $y=-x+2$ có đồ thị là $(d)$.
    a) Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
    b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm $A, B$ của $(P)$ và $(d)$; (hoành độ của $A$ nhỏ hơn hoành độ của $B$). Gọi $C$ và $D$ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên trục hoành, tính diện tích của tứ giác $ABCD$.
  2. 1/ a) Giải phương trình $x^4+2017x^2-2018=0$
    b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 2x+y&=-1 \\ x-2y&=7 \end{cases}.$$ 2/ Cho phương trình bậc hai $x^2-2x+m+3=0$ ($m$ là tham số)
    a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=-1$. Tính nghiệm còn lại.
    b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^3+x_{2}^3=8$.
  3. Một phòng họp có 250 chỗ ngồi được chia thành từng dãy, mỗi dãy có số chỗ ngồi như nhau. Vì có đến 308 người dự họp nên ban tổ chức phải kê thêm 3 dãy ghế, mỗi dãy ghế phải kê thêm một chỗ ngồi nữa thì vừa đủ. Hỏi lúc đầu ở phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu chỗ ngồi?
  4. Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$. Một điểm $M$ cố định thuộc đoạn thẳng $OB$ ($M$ khác $B$ và $M$ khác $O$). Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $M$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $N$. Trên cung $NB$ lấy điểm $E$ bất kì ($E$ khác $B$ và $E$ khác $N$). Tia $BE$ cắt đường thẳng $d$ tại $C$, đường thẳng $AC$ cắt nửa đường tròn tại $D$. Gọi $H$ là gaio điểm của $AE$ và đường thẳng $d$.
    a) Chứng minh tứ giác $BMHE$ nội tiếp đường tròn.
    b) Chứng minh 3 điểm $B, H, D$ thẳng hàng.
    c) Tính giá trị của biểu thức $BN^2+AD.AC$ theo $R$.
    d) Đường tròn ngoại tiếp $AHC$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh khi $E$ di động trên cung $NB$ thì độ dài đoạn thẳng $BK$ không đổi.
  5. Cho $a$ là số thực lớn hơn 1 và $$x=\sqrt{a+\sqrt{a^2+1}}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}.$$ Tính giá trị biểu thức $$P=x^3-2x^2-2(a+1)x+4a+2021$$
  1. a) Cho biểu thức $$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} ;\, x\geq 0, x\neq 1.$$ Rút gọn biểu thức $P$.
    b) Cho biểu thức $$Q=\frac{(x+27)P}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)},\quad x\geq 0,\,x\neq 1,\,x\neq 4.$$ Chứng minh rằng $Q\geq 6$.
  2. Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3=0$ ($x$ là ẩn, $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao cho $$x_{1}^{2} +4x_{1}+2x_{2}-2mx_{1}=1$$
  3. a) Giải phương trình $$x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1 }+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 4\sqrt{x+1} -xy\sqrt{y^2+4}&=0\\ \sqrt{x^2-xy^2+1}+3\sqrt{x-1}&=xy^2 \end{cases}.$$
  4. Cho tam giác $ABC$ có góc $\angle BAC=60^{0}$, $AC=b$, $AB=c$ $(b>c)$. Đường kính $EF$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông góc với $BC$ tại $M$ ($E$ thuộc cung lớn $BC$). Gọi $I$ và $J$ là chân đường vuông góc hạ từ $E$ xuống các đường thẳng $AB$ và $AC$. Gọi $H$ và $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $F$ xuống các đường thẳng $AB$ và $AC$.
    a) Chứng minh rằng các tứ giác $AIEJ$, $CMJE$ nội tiếp và $$EA.EM=EC.EI.$$ b) Chứng minh rằng $I,J,M$ thẳng hàng và $IJ$ vuông góc với $HK$.
    c) Tính độ dài cạnh $BC$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANC$ theo $b,c$
  5. Chứng minh biểu thức $$S=n^3(n+2)^{2}+(n+1)(n^3-5n+1)-2n-1$$ chia hết cho $120$, với $n$ là số nguyên.  
  6. a) Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$, $\left | a \right |\leq 1$, $\left | b \right |\leq 1$, $\left | c \right |\leq 1$. Chứng minh rằng $a^4+b^6+c^8 \leq 2$.
    b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\frac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$$ với $x,y$ là các số thực lớn hơn $1$

Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2017-2018

  1. a) Cho biểu thức $$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} ;\, x\geq 0, x\neq 1.$$ Rút gọn biểu thức $P$.
    b) Cho biểu thức $$Q=\frac{(x+27)P}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)},\quad x\geq 0,\,x\neq 1,\,x\neq 4.$$ Chứng minh rằng $Q\geq 6$.
  2. Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-3=0$ ($x$ là ẩn, $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao cho $$x_{1}^{2} +4x_{1}+2x_{2}-2mx_{1}=1$$
  3. a) Giải phương trình $$x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1 }+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 4\sqrt{x+1} -xy\sqrt{y^2+4}&=0\\ \sqrt{x^2-xy^2+1}+3\sqrt{x-1}&=xy^2 \end{cases}.$$
  4. Cho tam giác $ABC$ có góc $\angle BAC=60^{0}$, $AC=b$, $AB=c$ $(b>c)$. Đường kính $EF$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông góc với $BC$ tại $M$ ($E$ thuộc cung lớn $BC$). Gọi $I$ và $J$ là chân đường vuông góc hạ từ $E$ xuống các đường thẳng $AB$ và $AC$. Gọi $H$ và $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $F$ xuống các đường thẳng $AB$ và $AC$.
    a) Chứng minh rằng các tứ giác $AIEJ$, $CMJE$ nội tiếp và $$EA.EM=EC.EI.$$ b) Chứng minh rằng $I,J,M$ thẳng hàng và $IJ$ vuông góc với $HK$.
    c) Tính độ dài cạnh $BC$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANC$ theo $b,c$
  5. Chứng minh biểu thức $$S=n^3(n+2)^{2}+(n+1)(n^3-5n+1)-2n-1$$ chia hết cho $120$, với $n$ là số nguyên.  
  6. a) Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$, $\left | a \right |\leq 1$, $\left | b \right |\leq 1$, $\left | c \right |\leq 1$. Chứng minh rằng $a^4+b^6+c^8 \leq 2$.
    b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\frac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$$ với $x,y$ là các số thực lớn hơn $1$
  1. Find all single digit numbers $a,b,c$ such that the numbers $\overline{abc}$, $\overline{acb}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$, $\overline{cba}$ are prime numbers.
  2. Given a right triangle $XYZ$ with the right angle $X$ ($XY<XZ$). Draw $XU$ perpendicular to $YZ$. Let $P$ be the midoint of $YU$. Choose $K$ on the half plane determined by $YZ$ which does not contain $X$ such that $KZ$ is perpendicular to $XZ$ and $XY=2KZ$. The line $d$ which passes through $Y$ and is parallel to $XU$ intersects $KP$ at $V$. Let $T$ be the intersection of $XP$ and $d$. Prove that $\widehat{VTK}=\widehat{XKZ}+\widehat{VXY}$.
  3. There are 3 people wanting to byy sheeps from Mr. An. The first one wants to buy $\frac{1}{a}$ of the herd, the second one wants to buy $\frac{1}{b}$ of the herd, and the third one wants to buy $\frac{1}{c}$ of the herd and it happens that
    i) $a,b,c\in\mathbb{N}^{*}$ and $a<b<c$,
    ii) the numbers of sheeps each person wants to buy are positive integers,
    iii) after shelling, Mr. An still has exactly one sheep left.
    What are the possible numbers of sheeps Mr. An has?.
  4. Given a circle $(O)$ with a diameter $AB$. On $(O)$ choose a point $C$ such that $CA<CB$. On the open line segment $OB$ choose $E$. $CE$ intersect $(O)$ at $D$. The line which goes through $A$ and is parallel to $BD$ intersects $BC$ at $I$. The lines $OI$ and $CE$ meet at $F$. Prove that $FA$ is a tangent to the circle $(O)$.
  5. Given real numbers $a,b,c$ satisfying $a+b+c=3$ and $abc\geq-4$. Prove that \[3(abc+4)\geq5(ab+bc+ca).\]
  6. Solve the following system of equations ($a$ is a parameter) \[\begin{cases}2x(y^{2}+a^{2}) & =y(y^{2}+9a^{2})\\ 2y(z^{2}+a^{2}) & =z(z^{2}+9a^{2})\\ 2z(x^{2}+a^{2}) & =x(x^{2}+9a^{2})\end{cases}.\]
  7. Suppose that $x=\dfrac{2013}{2015}$ is a solution of the polynomial \[f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n}\in\mathbb{Z}[x].\] Can the sum of the coefficients of $f(x)$ be 2017?.
  8. Given three circles $(O_{1}R_{1})$, $(O_{2}R_{2})$, $(O_{3}R_{3})$ which are pariwise externally tangent to each other at $A,B,C$. Let $r$ be the radius of the incircle of $ABC$. Prove that \[r\leq\frac{R_{1}+R_{2}+R_{3}}{6\sqrt{3}}.\]
  9. Given positive numbers $x,y,z$ satisfying \[x^{2}+y^{2}-2z^{2}+2xy+yz+zx\leq0.\] Find the minimum value of the expression \[P=\frac{x^{4}+y^{4}}{z^{4}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{x^{4}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{y^{4}}.\]
  10. Find the maximum value of the expression \[T=\frac{a+b}{c+d}\left(\frac{a+c}{a+d}+\frac{b+d}{b+c}\right)\] where $a,b,c,d$ belong to $[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$.
  11. Let $R(t)$ be a polynomial of degree 2017. Prove that there exist infinitely many polynomials $P(x)$ such that \[P((R^{2017}(t)+R(t)+1)^{2}-2)=P^{2}(R^{2017}(t)+R(t)+1)-2.\] Find a relation between those polynomials $P(x)$.
  12. Given a triangle $ABC$. The incircle $(I)$ of $ABC$ is rangent to $AB$, $BC$ and $CA$ at $K,L$ and $M$. The line $t$ which passes through $B$ and is different from $AB$ and $BC$ intersects $MK$ at $ML$ respectively at $R$ and $S$. Prove that $\widehat{RIS}$ is an acute angle.

Mathematics and Youth Magazine Problems - Sep 2017, Issue 483

  1. Find all single digit numbers $a,b,c$ such that the numbers $\overline{abc}$, $\overline{acb}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$, $\overline{cba}$ are prime numbers.
  2. Given a right triangle $XYZ$ with the right angle $X$ ($XY<XZ$). Draw $XU$ perpendicular to $YZ$. Let $P$ be the midoint of $YU$. Choose $K$ on the half plane determined by $YZ$ which does not contain $X$ such that $KZ$ is perpendicular to $XZ$ and $XY=2KZ$. The line $d$ which passes through $Y$ and is parallel to $XU$ intersects $KP$ at $V$. Let $T$ be the intersection of $XP$ and $d$. Prove that $\widehat{VTK}=\widehat{XKZ}+\widehat{VXY}$.
  3. There are 3 people wanting to byy sheeps from Mr. An. The first one wants to buy $\frac{1}{a}$ of the herd, the second one wants to buy $\frac{1}{b}$ of the herd, and the third one wants to buy $\frac{1}{c}$ of the herd and it happens that
    i) $a,b,c\in\mathbb{N}^{*}$ and $a<b<c$,
    ii) the numbers of sheeps each person wants to buy are positive integers,
    iii) after shelling, Mr. An still has exactly one sheep left.
    What are the possible numbers of sheeps Mr. An has?.
  4. Given a circle $(O)$ with a diameter $AB$. On $(O)$ choose a point $C$ such that $CA<CB$. On the open line segment $OB$ choose $E$. $CE$ intersect $(O)$ at $D$. The line which goes through $A$ and is parallel to $BD$ intersects $BC$ at $I$. The lines $OI$ and $CE$ meet at $F$. Prove that $FA$ is a tangent to the circle $(O)$.
  5. Given real numbers $a,b,c$ satisfying $a+b+c=3$ and $abc\geq-4$. Prove that \[3(abc+4)\geq5(ab+bc+ca).\]
  6. Solve the following system of equations ($a$ is a parameter) \[\begin{cases}2x(y^{2}+a^{2}) & =y(y^{2}+9a^{2})\\ 2y(z^{2}+a^{2}) & =z(z^{2}+9a^{2})\\ 2z(x^{2}+a^{2}) & =x(x^{2}+9a^{2})\end{cases}.\]
  7. Suppose that $x=\dfrac{2013}{2015}$ is a solution of the polynomial \[f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n}\in\mathbb{Z}[x].\] Can the sum of the coefficients of $f(x)$ be 2017?.
  8. Given three circles $(O_{1}R_{1})$, $(O_{2}R_{2})$, $(O_{3}R_{3})$ which are pariwise externally tangent to each other at $A,B,C$. Let $r$ be the radius of the incircle of $ABC$. Prove that \[r\leq\frac{R_{1}+R_{2}+R_{3}}{6\sqrt{3}}.\]
  9. Given positive numbers $x,y,z$ satisfying \[x^{2}+y^{2}-2z^{2}+2xy+yz+zx\leq0.\] Find the minimum value of the expression \[P=\frac{x^{4}+y^{4}}{z^{4}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{x^{4}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{y^{4}}.\]
  10. Find the maximum value of the expression \[T=\frac{a+b}{c+d}\left(\frac{a+c}{a+d}+\frac{b+d}{b+c}\right)\] where $a,b,c,d$ belong to $[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$.
  11. Let $R(t)$ be a polynomial of degree 2017. Prove that there exist infinitely many polynomials $P(x)$ such that \[P((R^{2017}(t)+R(t)+1)^{2}-2)=P^{2}(R^{2017}(t)+R(t)+1)-2.\] Find a relation between those polynomials $P(x)$.
  12. Given a triangle $ABC$. The incircle $(I)$ of $ABC$ is rangent to $AB$, $BC$ and $CA$ at $K,L$ and $M$. The line $t$ which passes through $B$ and is different from $AB$ and $BC$ intersects $MK$ at $ML$ respectively at $R$ and $S$. Prove that $\widehat{RIS}$ is an acute angle.
  1. Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau $$ a_0=1,\, a_1=4,\, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1}.$$ Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.
  2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.
  3. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.
  4. Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?
  5. Cho $n$ là số nguyên dương. Giả sử phương trình $$\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$$ có $m$ cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và $m-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $n$ là số chính phương.
  6. Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.
  7. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng $$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$$

Đề thi chọn HSG THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội 2017

  1. Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau $$ a_0=1,\, a_1=4,\, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1}.$$ Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.
  2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.
  3. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.
  4. Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?
  5. Cho $n$ là số nguyên dương. Giả sử phương trình $$\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$$ có $m$ cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và $m-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $n$ là số chính phương.
  6. Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.
  7. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng $$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$$

Tuyển Tập

More Articles »

Toán Học Thú Vị

More Articles »

Chuyên Đề

More Articles »

Tuyển sinh Lớp 10

More Articles »

Olympic Toán 30/4

More Articles »

Trại Hè Hùng Vương

More Articles »

Shortlists Olympiad

More Articles »

Team Selection Tests

More Articles »
Copyright © 2016-2017 MOLYMPIAD. Powered by Blogger. .
ABOUT $\cdot$ $\LaTeX$ $\cdot$ PRIVACY $\cdot$ CONTACT $\cdot$ SITEMAP